LIMITES

 LIMITES


La noción de límite tiene múltiples acepciones. Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.
Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.


pero una definicion de limites puede ser la siguiente:

Téngase una función f(x), si en el rango de dicha función f(x) se acerca a un número L arbitrariamente, a medida que en el dominio x se acerca a un valor c, desde valores mayores y menores a c, entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a c, es L.

A pesar de ser una definición entendible, para ser formal debe definirse ¿Qué es estar cerca de (o acercarse a) L o c?.

Para este caso observaremos algunas propiedades de limites 


Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denimina álgebra de los límites.

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante.

• Unicidad del límite: cuando el límite existe, el límite es único.
  
• Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites.
  

• Propiedad de la resta: el límite de la resta es la resta de los límites.
  
• Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites.
  
• Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma constante.
  
• Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado.
  
• Propiedad del cociente: el límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.
  
• Propiedad de la función potencial: el límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente:
  
• Propiedad de la función exponencial: el límite de una función exponencial es la potencia de la base elevada al límite de la función exponente:
  
• Propiedad de la función potencial exponencial: el límite de una función potencial exponencial, es la potencia de los límites de las dos funciones:
  
• Propiedad de la raíz: el límite de una raíz, es la raíz del límite:
  
• Propiedad de la función logarítmica: El límite del logaritmo es el logaritmo del límite.
  

 Ya sabiendo cada una de estas propiedades empezaremos a calular limites de la forma 0/0, no sin antes explicar en que consiste este metodo

En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad +\infty -\infty }$

ejemplo:

Vamos con el primer ejemplo:

En primer lugar, sustituimos la x por el 3 para resolver el límite y nos da como resultado la indeterminación cero entre cero:

Por tanto, voy a descomponer en factores los polinomios del numerador y del denominador. El polinomio del numerador se trata de un producto notable, por lo que su descomposición es:

El polinomio del denominador no se puede descomponer, ya que ya es de grado 1 y por tanto, ya está reducido al máximo, por lo que se queda igual.

Sustituyo el polinomio del numerador por su descomposición en factores y queda:


El factor (x-3) está repetido en el numerador y en el denominador por lo que lo puedo eliminar:


Quedando de la siguiente forma:


Una vez hemos eliminado los factores repetidos, la indeterminación también se ha eliminado, por lo que podemos volver a sustituir la x por el 3 y llegar a la solución de límite:


INDETERMINACION  ∞ / ∞


En el ámbito de las Ciencias Sociales, es muy habitual que haya que calcular el límite de una función racional cuando x tiende a infinito. Basta que queramos saber el comportamiento de una población, del dinero invertido en un banco, de la evolución de un negocio, de la evolución de un mercado de valores, ...., a largo plazo. Muchas de estas funciones responden a funciones racionales, o sea, a dividir dos polinomios, y como ya sabes del punto 2, el resultado del límite cuando x tiende a infinito de un polinomio es infinito. Luego en este caso tendríamos que dividir infinito entre infinito. Tenemos ahora entonces la indeterminación ∞/∞
 
Seguramente has pensado que eso es 1, si se dividen dos cantidades iguales el resultado es 1. Pero eh ahí el porqué esto es una indeterminación, porque no sabemos si esos infinitos son iguales o uno es mucho más grande que otro. Es decir, hay que averiguar que relación hay entre esos infinitos, y al final, el resultado puede ser efectivamente uno, pero también puede ser cero, infinito o cualquier número real.


El número de individuos, en millones, de una población viene expresada por la función:
 

 

 acabamos de ver que si tenemos un polinomio, el límite cuando x tiende a infinito es ±∞. Por tanto, como tenemos un polinomio en el numerador y en el denominador,al hacer el límite nos sale infinito en ambos lados.
 


Esto es una indeterminación, pero la forma de resolverla es muy fácil. Hemos visto que cuando hacemos el límite en infinito de un polinomio, quien manda es el término de mayor, por tanto, al hacer el límite, podemos quedarnos únicamente con los términos de mayor grado:


Y esa fracción la podemos simplificar pues aparece x² arriba y abajo y nos queda sólo el 3:


Por tanto, esa función tiende a 3 cuando x va tomando valores muy grandes, lo que quiere decir, que la población se estabiliza en torno a los tres millones de habitantes a lo largo del tiempo.